纸上谈兵: 图 (graph)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是有有一种比较松散的数据型态。它有有些节点(vertice),在有些节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也冒出过,人们 儿通常在节点中储存数据。边表示有一一有一个 多 节点之间的处于关系。在树中,人们 儿用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是有有一种特殊的图,但限制性更强有些。

日后 的有有一种数据型态是很常见的。比如计算机网络,日后由有些节点(计算机可能路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统也都要理解为图,地铁站都要认为是节点。基于图有有些经典的算法,比如求图暗含一一有一个 多 节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥难题(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市暗含三根河流过,河中暗含一一有一个 多 小岛。有七座桥桥连接河的两岸和有一一有一个 多 小岛。送信员总想知道,有没得有一一有一个 多 土法律依据,能不重复的走过7个桥呢?

(你这俩 难题在有些奥数教材中称为"一笔画"难题)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的都要看作由7个边和有一一有一个 多 节点构成的有一一有一个 多 图:

你这俩 难题最终被欧拉巧妙的处置。七桥难题也启发了一门新的数专学 科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,可能某个节点全部也有起点可能终点,没得连接它的边的数目都要为偶数个(从有一一有一个 多 桥进入,再从日后 桥离开)。对于柯尼斯堡的七桥,可能有一一有一个 多 节点都为奇数个桥,而最多没得有有一一有一个 多 节点为起点和终点,有些可能一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。有一一有一个 多 图的所有节点构成有一一有一个 多 集合[$V$]。有一一有一个 多 边都要表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即有一一有一个 多 节点。可能[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,没得图是有向的(directed)。有序的边都要理解为单行道,没得沿有一一有一个 多 方向行进。可能[$(v_1, v_2)$]无序,没得图是无向的(undirected)。无序的边都要理解成双向都要行进的道路。有一一有一个 多 无序的边都要看作连接相同节点的有一一有一个 多 反向的有序边,有些无向图都要理解为有向图的有有一种特殊情形。

(七桥难题中的图是无向的。城市中的公交线路都只是无向的,比如处于单向环线)

图的有一一有一个 多 路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也日后说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为有一一有一个 多 节点。路径上端的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,人们 儿会在选着某个路径,来从A站到达B站。日后 的路径可能有不止三根,人们 儿往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤情形,来选着三根最佳的路线。可能处于三根长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,没得认为该图中处于环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中处于环路。

 

找到三根环路

可能从每个节点,到任意有一一有一个 多 其它的节点,全部也有三根路径搞笑的话,没得图是连通的(connected)。对于有一一有一个 多 有向图来说,日后 的连通称为强连通(strongly connected)。可能有一一有一个 多 有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,没得认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

可能将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,日后 的图可能是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间没得路径相连。

图的实现

有有一种简单的实现图的土法律依据是使用二维数组。让数组a的每一行为有一一有一个 多 节点,该行的不同元素表示该节点与有些节点的连接关系。可能[$(u, v) \in E$],没得a[u][v]记为1,日后为0。比如下面的有一一有一个 多 包暗含一一有一个 多 节点的图:

 

都要简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

你这俩 实现土法律依据所处于的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而没法快增多。可能边全部也有很密集,没得有些数组元素记为0,没得稀疏的有些数组元素记为1,有些并全部也有很经济。

更经济的实现土法律依据是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,人们 儿建立有一一有一个 多 链表。对于任意节点k,可能有[$(m, k) \in E$],就将该节点装进到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准土法律依据。比如下面的图,

 

都要用如下的数据型态实现:

 

左侧为有一一有一个 多 数组,每个数组元素代表有一一有一个 多 节点,且指向有一一有一个 多 链表。该链表包暗含该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表都要分为两偏离 。邻接表所处于的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组偏离 储存节点信息,处于[$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,处于[$|E|$]的空间,即边的总数。在有些复杂的难题中,定点和边还可能有有些的附加信息,人们 儿都要将哪几个附加信息储处于相应的节点可能边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

上端的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是有有一种很简单的数据型态。图的组织土法律依据比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法复杂度。我将在日后介绍有些图的经典算法。

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